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2011年广东专插本考试数学真题+答案

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广东省2011年普通高等学校本科插班生招生考试

《高等数学》真题

一、选择题(本大题共5题,每小题3分,共15分。每小题只有一个选项符合题目要求)

 

(    )1.下列极限等式中,正确的是

A. 广东省2011年普通高等学校本科插班生招生考试《高等数学》(图1)

B.广东省2011年普通高等学校本科插班生招生考试《高等数学》(图2) 

C. 广东省2011年普通高等学校本科插班生招生考试《高等数学》(图3) 

D.广东省2011年普通高等学校本科插班生招生考试《高等数学》(图4)

(    )2.若函数广东省2011年普通高等学校本科插班生招生考试《高等数学》(图5)广东省2011年普通高等学校本科插班生招生考试《高等数学》(图6)处连续,则常数a=

A.广东省2011年普通高等学校本科插班生招生考试《高等数学》(图7) 

B.广东省2011年普通高等学校本科插班生招生考试《高等数学》(图8) 

C.2 

D.广东省2011年普通高等学校本科插班生招生考试《高等数学》(图9)

(    )3.已知广东省2011年普通高等学校本科插班生招生考试《高等数学》(图10)的二阶导数存在,且广东省2011年普通高等学校本科插班生招生考试《高等数学》(图11),则广东省2011年普通高等学校本科插班生招生考试《高等数学》(图12)是函数广东省2011年普通高等学校本科插班生招生考试《高等数学》(图13)

A. 极小值点 

B. 最小值点 

C. 极大值点  

D. 最大值点

(    )4.广东省2011年普通高等学校本科插班生招生考试《高等数学》(图14)广东省2011年普通高等学校本科插班生招生考试《高等数学》(图15)=

A.1 B.2 C.3 D.4

(    )5.广东省2011年普通高等学校本科插班生招生考试《高等数学》(图16)广东省2011年普通高等学校本科插班生招生考试《高等数学》(图17),则广东省2011年普通高等学校本科插班生招生考试《高等数学》(图18)=

A.-1 B.0 C.1  D.2

 

二、填空题(本大题共5小题,每小题3分,共15分)

6  广东省2011年普通高等学校本科插班生招生考试《高等数学》(图19)时,广东省2011年普通高等学校本科插班生招生考试《高等数学》(图20)广东省2011年普通高等学校本科插班生招生考试《高等数学》(图21)是等价无穷小,则常数k=             .

7  广东省2011年普通高等学校本科插班生招生考试《高等数学》(图22)广东省2011年普通高等学校本科插班生招生考试《高等数学》(图23)         .

8  已知广东省2011年普通高等学校本科插班生招生考试《高等数学》(图24)广东省2011年普通高等学校本科插班生招生考试《高等数学》(图25)内连续,且广东省2011年普通高等学校本科插班生招生考试《高等数学》(图26),则广东省2011年普通高等学校本科插班生招生考试《高等数学》(图27)         .

9  已知二元函数广东省2011年普通高等学校本科插班生招生考试《高等数学》(图28),则广东省2011年普通高等学校本科插班生招生考试《高等数学》(图29)     .

10  设平面区域D由直线y=xy=2xx=1所围成,则二重积分广东省2011年普通高等学校本科插班生招生考试《高等数学》(图30)     . 

 

三、计算题(本大题共8小题,每小题6分,共48分)

11  计算广东省2011年普通高等学校本科插班生招生考试《高等数学》(图31).

12  已知函数f(x)n-2阶导数广东省2011年普通高等学校本科插班生招生考试《高等数学》(图32),求广东省2011年普通高等学校本科插班生招生考试《高等数学》(图33)n阶导数。


13  求曲线广东省2011年普通高等学校本科插班生招生考试《高等数学》(图34)的凹凸区间和拐点。

 

14  计算不定积分广东省2011年普通高等学校本科插班生招生考试《高等数学》(图35)


15  计算定积分广东省2011年普通高等学校本科插班生招生考试《高等数学》(图36)

 

16  求微分方程广东省2011年普通高等学校本科插班生招生考试《高等数学》(图37)满足初始条件广东省2011年普通高等学校本科插班生招生考试《高等数学》(图38)的特解。

 

17  已知隐函数广东省2011年普通高等学校本科插班生招生考试《高等数学》(图39)由方程广东省2011年普通高等学校本科插班生招生考试《高等数学》(图40)所确定,求广东省2011年普通高等学校本科插班生招生考试《高等数学》(图41)

 

18  已知直角坐标系下二重积分:广东省2011年普通高等学校本科插班生招生考试《高等数学》(图42),试用极坐标法计算二重积分。

 

四、综合题(本大题共2小题,第1910分,第2012分,共22分)

19  过坐标原点作曲线广东省2011年普通高等学校本科插班生招生考试《高等数学》(图43)的切线l,切线l与曲线广东省2011年普通高等学校本科插班生招生考试《高等数学》(图44)y轴围成的平面图形记为G.求:

1)切线l的方程;(2G的面积;(3Gx轴旋转所得旋转体体积。

20  若定义在区间(0,π)的可导函数广东省2011年普通高等学校本科插班生招生考试《高等数学》(图45)满足广东省2011年普通高等学校本科插班生招生考试《高等数学》(图46)广东省2011年普通高等学校本科插班生招生考试《高等数学》(图47).求:

1)函数y=f(x)的表达式;(2)证明:函数y=f(x)在区间(0,π)内单调递减。

广东省2011年普通高等学校本科插班生招生考试

高等数学》参考答案及评分标准

一、单项选择题

1  C  2  B   3  C  4  D  5  A

二、填空题

6 .8    7. -1   8 .2f(x)  9 . 0   10.1

三、计算题

11  广东省2011年普通高等学校本科插班生招生考试《高等数学》(图48)

 

12  广东省2011年普通高等学校本科插班生招生考试《高等数学》(图49)

广东省2011年普通高等学校本科插班生招生考试《高等数学》(图50)

 

13  函数广东省2011年普通高等学校本科插班生招生考试《高等数学》(图51)的定义域为广东省2011年普通高等学校本科插班生招生考试《高等数学》(图52)广东省2011年普通高等学校本科插班生招生考试《高等数学》(图53)

广东省2011年普通高等学校本科插班生招生考试《高等数学》(图54),解得x=0,列表讨论如下(k<0):

x

广东省2011年普通高等学校本科插班生招生考试《高等数学》(图55)

0

广东省2011年普通高等学校本科插班生招生考试《高等数学》(图56)

y’’

+

0

-

y

拐点

拐点是(0,0),f(x)广东省2011年普通高等学校本科插班生招生考试《高等数学》(图57)是凹的,在广东省2011年普通高等学校本科插班生招生考试《高等数学》(图58)是凸的。

 

14  广东省2011年普通高等学校本科插班生招生考试《高等数学》(图59)

广东省2011年普通高等学校本科插班生招生考试《高等数学》(图60)

广东省2011年普通高等学校本科插班生招生考试《高等数学》(图61)

 

15  广东省2011年普通高等学校本科插班生招生考试《高等数学》(图62)

16  微分方程的特征方程为:广东省2011年普通高等学校本科插班生招生考试《高等数学》(图63);解得:r1=-4,r2=2,

∴微分方程的通解为:广东省2011年普通高等学校本科插班生招生考试《高等数学》(图64)广东省2011年普通高等学校本科插班生招生考试《高等数学》(图65)

∴有广东省2011年普通高等学校本科插班生招生考试《高等数学》(图66)广东省2011年普通高等学校本科插班生招生考试《高等数学》(图67)解之得:广东省2011年普通高等学校本科插班生招生考试《高等数学》(图68).

故特解为:广东省2011年普通高等学校本科插班生招生考试《高等数学》(图69)

17  F(x,y,z)=e-xz-yz+x2y-1,广东省2011年普通高等学校本科插班生招生考试《高等数学》(图70)

广东省2011年普通高等学校本科插班生招生考试《高等数学》(图71)

18  画出几分区域D,可知积分区域是在第一象限的四分之一圆,则:

广东省2011年普通高等学校本科插班生招生考试《高等数学》(图72)

广东省2011年普通高等学校本科插班生招生考试《高等数学》(图73) 


四、综合题

19  1)设切点的坐标为广东省2011年普通高等学校本科插班生招生考试《高等数学》(图74),则广东省2011年普通高等学校本科插班生招生考试《高等数学》(图75)

∴切线l的方程为:广东省2011年普通高等学校本科插班生招生考试《高等数学》(图76)广东省2011年普通高等学校本科插班生招生考试《高等数学》(图77)又因该切线经过原点,故广东省2011年普通高等学校本科插班生招生考试《高等数学》(图78)解之得广东省2011年普通高等学校本科插班生招生考试《高等数学》(图79),∴切点为广东省2011年普通高等学校本科插班生招生考试《高等数学》(图80),故切线方程为y=ex

(2)广东省2011年普通高等学校本科插班生招生考试《高等数学》(图81)

       广东省2011年普通高等学校本科插班生招生考试《高等数学》(图82)

 

3广东省2011年普通高等学校本科插班生招生考试《高等数学》(图83)

20  1)由广东省2011年普通高等学校本科插班生招生考试《高等数学》(图84)可得广东省2011年普通高等学校本科插班生招生考试《高等数学》(图85),两边积分得:Iny=Insinx-Inx+C1,化简得广东省2011年普通高等学校本科插班生招生考试《高等数学》(图86)广东省2011年普通高等学校本科插班生招生考试《高等数学》(图87),解之得C=1

∴函数y=f(x)的表达式为广东省2011年普通高等学校本科插班生招生考试《高等数学》(图88)

2广东省2011年普通高等学校本科插班生招生考试《高等数学》(图89),设g(x)=xcosx-sinx, 广东省2011年普通高等学校本科插班生招生考试《高等数学》(图90),

sinx在(0,π)区间内恒大于0,故广东省2011年普通高等学校本科插班生招生考试《高等数学》(图91)

广东省2011年普通高等学校本科插班生招生考试《高等数学》(图92)是单调减函数;

广东省2011年普通高等学校本科插班生招生考试《高等数学》(图93),∴广东省2011年普通高等学校本科插班生招生考试《高等数学》(图94)在区间(0,π)内恒小于0

广东省2011年普通高等学校本科插班生招生考试《高等数学》(图95)在区间(0,π)内恒为负,

∴函数y=f(x)在区间(0,π)内单调递减。


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